Question

先閱讀下列不等式的證法，再解決后面的問(wèn)題：
已知a₁，a₂∈R，a₁+a₂=1，求證a₁²+a₂²，
證明：構(gòu)造函數(shù)f（x）=（x-a₁）²+（x-a₂）²=2x²-2x+a₁²+a₂²
因?yàn)閷?duì)一切x∈R，恒有f（x）≥0，所以△=4-8（a₁²+a₂²）≤0，從而得a₁²+a₂²，
（1）若a₁，a₂，…，a_n∈R，a₁+a₂+…+a_n=1，請(qǐng)寫(xiě)出上述結(jié)論的推廣式；
（2）參考上述解法，對(duì)你推廣的結(jié)論加以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中已知a₁，a₂∈R，a₁+a₂=1，求證a₁²+a₂²，及
整個(gè)式子的證明過(guò)程，我們根據(jù)歸納推理可以得到一個(gè)一般性的公式，若a₁，a₂，…，a_n∈R，a₁+a₂+…+a_n=1，則a₁²+a₂²+…+a_n²≥．（2）但此公式是由歸納推理得到的，其正確性還沒(méi)有得到驗(yàn)證，觀察已知中的證明過(guò)程，我們可以類(lèi)比對(duì)此公式進(jìn)行證明．
解答：解：（1）若a₁，a₂，…，a_n∈R，a₁+a₂+…+a_n=1，
求證：a₁²+a₂²+…+a_n²≥
（2）證明：構(gòu)造函數(shù)
f（x）=（x-a₁）²+（x-a₂）²+…+（x-a_n）²
=nx²-2（a₁+a₂+…+a_n）x+a₁²+a₂²+…+a_n²
=nx²-2x+a₁²+a₂²+…+a_n²
因?yàn)閷?duì)一切x∈R，都有f（x）≥0，所以△=4-4n（a₁²+a₂²+…+a_n²）≤0
從而證得：a₁²+a₂²+…+a_n²≥
點(diǎn)評(píng)：歸納推理的一般步驟是：（1）通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）．（3）對(duì)歸納得到的一般性結(jié)論進(jìn)行證明．