Question

重慶市某中學計劃2010年在重慶新聞、影視頻道“做100周年校慶”總時間不超過300分鐘的廣告，廣告總費用不超過9萬元，新聞、影視頻道的廣告收費標準分別為500元/分鐘和200元/分鐘，規定新聞、影視頻道為我校所做的每分鐘廣告，能給學校帶來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元．問學校如何分配在新聞、影視頻道的廣告時間，才能使學校的收益最大，最大收益是多少萬元？

Answer 1

【答案】分析：本題先找出約束條件與目標函數，即先設做廣告的時間分別為x分鐘和 y分鐘，總收益為z元，然后根據題意建立約束條件和目標函數，最后根據目標函數平移的方法解決最優解，從而得到結論．準確地描畫可行域，再利用圖形直線求得滿足題設的最優解．
解答：解：設做廣告的時間分別為x分鐘和 y分鐘，總收益為z元，
由題意得
目標函數為z=3000x+2000y．  （6分）
二元一次不等式組等價于
作出二元一次不等式組所表示的平面區域，即可行域．如圖：
作直線z=3000x+2000y
當直線l過M點時，目標函數取得最大值．
聯立解得x=100，y=200．
∴點M的坐標為（100，200）．
∴z_max=3000x+2000y=700000（元） （13分）
答：在新聞、影視頻道分別做100，200分鐘廣告，收益最大，最大收益是70萬元．
點評：利用線性規劃的思想方法解決某些實際問題屬于直線方程的一個應用．用圖解法解決線性規劃問題時，分析題目的已知條件，找出約束條件和目標函數是關鍵，可先將題目中的量分類、列出表格，理清頭緒，然后列出不等式組（方程組）尋求約束條件，并就題目所述找出目標函數．然后將可行域各角點的值一一代入，最后比較，即可得到目標函數的最優解．