Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分別是BC、PC的中點．
（1）證明：AE⊥PD；
（2）設AB=2，若H為線段PD上的動點，EH與平面PAD所成的最大角的正切值為，求此時異面直線AE和CH所成的角．

Answer 1

【答案】分析：（1）由四邊形ABCD為棱形，∠ABC=60°，知△ABC是等邊三角形，由E是BC的中點，知AE⊥BC，由BC∥AD，知AE⊥AD，由PA⊥平面ABCD，知PA⊥AE，由此能夠證明AE⊥PD．
（2）設AB=2，H為PD上任意一點，連接AH，EH，由（1）知AE⊥平面PAD，從而推導出∠EHA為EH與平面PAD所成的角，由此能求出異面直線所成的角的大小．
解答：解：（1）證明：∵四邊形ABCD為棱形，∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∵E是BC的中點，∴AE⊥BC，
又∵BC∥AD，∴AE⊥AD，
∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，∴PA⊥AE，
∵PA?平面PAD，AD?平面PAD，且PA∩AD=A，
∴AE⊥平面PAD，
又∵PD?平面PAD，∴AE⊥PD．
（2）設AB=2，H為PD上任意一點，
連接AH，EH，由（1）知AE⊥平面PAD，
∴∠EHA為EH與平面PAD所成的角，
在Rt△EAH中，AE=，所以當AH最短時，即AH⊥PD時，EH與平面PAD所成的角∠EHA最大，
此時tan∠EHA=l
因此AH=AC₁∥面CDB₁．又AD=2，所以∠ADH=45°，所以 PA=2．
此時異面直線AE和CH異面直線所成角30°．
點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查異面直線所成的角的求法，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．