Question

如圖所示，在Rt△ABCD中，∠ACB=90°，點O為三角形外的一點，以O為圓心，OC為半徑的圓與邊AB相切，切點為E，圓O與邊BC相交于D點，直徑EF與邊BC交于G點，連接AC．
（1）求證：A、E、G、C四點共圓；
（2）求證：AG∥ED．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證明四點共圓，可根據圓內接四邊形判定定理：四邊形的外角等于與它相鄰內角的對角，而由AB是⊙O的切線，E為切點，易得∠AEG=90°，而∠ACG=90°，故不難得到結論．
（2）由（1）的結論，我們結合圓周角定理，易得∠AEC=∠AGC，再結合弦切解定理，我們可得∠AEC=∠EDC，根據等量代換思想，我們可以得到同位角相等的結論，不難得到線線平行．
解答：證明：（1）∵圓O與邊AB相切于點E，
∴∠AEG=90°
又∵∠ACB=90°
∴∠AEG=∠ACB
∴A、E、G、C四點共圓．
（2）∵A、E、G、C四點共圓，
∴∠AEC=∠AGC
又∵AB是圓O的切線，
∴∠AEC=∠EDC
∴∠EDC=∠AGC
∴AG∥ED．
點評：本題是考查同學們推理能力、邏輯思維能力的好資料，題目以證明題為主，特別是一些定理的證明和用多個定理證明一個問題的題目，我們注意熟練掌握：1．射影定理的內容及其證明； 2．圓周角與弦切角定理的內容及其證明；3．圓冪定理的內容及其證明；4．圓內接四邊形的性質與判定．