Question

已知函數f(x)=x+

2

x

．
（1）判斷f（x）的奇偶性，并證明你的結論；
（2）證明：函數f（x）在[

2

，+∞)內是增函數．

Answer 1

分析：（1）利用函數奇偶性的定義去判斷．（2）利用函數單調性的定義去證明．

解答：解：（1）函數的定義域是（-∞，0）∪（0，+∞）（1分）
∵f(-x)=-x+

2

-x

=-(x+

2

x

)=-f(x)，
∴f（x）是奇函數．（5分）
（2）設x1，x2∈[

2，

+∞)，且x₁＜x₂ （6分）
則f(x1)-f(x2)=x1+

2

x1

-(x2+

2

x2

)=(x1-x2)+(

2

x1

-

2

x2

)=(x1-x2)(

x1x2-2

x1x2

)，（7分）
∵

2

＜x1＜x2，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂-2＞0，x₁x₂＞0（10分）
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）（11分）
故f（x）在[

2

，+∞)內是增函數．（12分）

點評：本題主要考查函數奇偶性的判斷和單調性的判斷，利用函數單調性和奇偶性的定義是解決本題的關鍵．