Question

【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），以為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．

（Ⅰ）求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；

（Ⅱ）設，直線交曲線于兩點，是直線上的點，且，當最大時，求點的坐標．

Answer 1

【答案】（Ⅰ），曲線：；（Ⅱ）或．

【解析】試題分析：

（Ⅰ）將直線的參數(shù)方程消去參數(shù)可得普通方程，利用轉(zhuǎn)化公式可將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程．（Ⅱ）根據(jù)直線的參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義求解，并結(jié)合三角函數(shù)的知識可得當時，最大，此時最大．然后利用參數(shù)方程可得點的坐標．

試題解析：

（Ⅰ）由（為參數(shù)）消去參數(shù)可得，

∴直線的普通方程為．

由可得，

將代入上式可得，

∴曲線的直角坐標方程為．

（Ⅱ）設直線上的三點所對應的參數(shù)分別為，

將代入，

整理得，

則，

與異號，

由，得，

當，即時，最大，此時最大，

且，此時，代入可得此時點的坐標為或．