Question

某市為鼓勵企業發展“低碳經濟”，真正實現“低消耗、高產出”，施行獎懲制度．通過制定評分標準，每年對本市50%的企業抽查評估，評出優秀、良好、合格和不合格四個等次，并根據等級給予相應的獎懲（如下表）．某企業投入100萬元改造，由于自身技術原因，能達到以上四個等次的概率分別為

1

2

，

1

3

，

1

8

，

1

24

，且由此增加的產值分別為60萬元、40萬元、20萬元、-5萬元．設該企業當年因改造而增加利潤為ξ．
（Ⅰ）在抽查評估中，該企業能被抽到且被評為合格及其以上等次的概率是多少？
（Ⅱ）求ξ的數學期望．

評價得分	（0，60）	[60，70）	[70，80）	[80，100]
評價等級	不合格	合格	良好	優秀
獎懲 （萬元）	-80	30	60	100

Answer 1

分析：（1）由于該企事業被抽中的概率為50%，該企業被評為合格時必須抽中優秀、良好或合格的產品，而能達到以上三個等次的概率分別為

1

2

，

1

3

，

1

8

，故易得到該企業能被抽到且被評為合格及其以上等次的概率．
（2）先要根據題意，分析ξ所有可能取的值，并分析每一種取值的情況，逐一算出其出現的概率，然后列出分布列，代入數學期望公式即可求解．

解答：解：（Ⅰ）設該企業能被抽中的概率且評為合格以上等次的概率為P，
則P=(

1

2

+

1

3

+

1

8

)×

1

2

=

23

48

（Ⅱ）依題意，ξ的可能取值為-185，-105，-80，-60，-50，-40，0，60，則P(ξ=60)=

1

2

×

1

2

=

1

4

，P(ξ=0)=

1

3

×

1

2

=

1

6

，P(ξ=-50)=

1

8

×

1

2

=

1

16

P(ξ=-185)=

1

24

×

1

2

=

1

48

，P(ξ=-40)=

1

2

×

1

2

=

1

4

，P(ξ=-60)=

1

3

×

1

2

=

1

6

，P(ξ=-80)=

1

8

×

1

2

=

1

16

，P(ξ=-105)=

1

24

×

1

2

=

1

48

則其分布列為

∴Eξ=(60-40)×

1

4

+(-60)×

1

6

+(-50-80)×

1

16

+(-185-105)×

1

48

=-

115

6

（萬元）

點評：解決等可能性事件的概率問題，關鍵是要弄清一次試驗的意義以及每個基本事件的含義是解決問題的前提，正確把握各個事件的相互關系是解決問題的關鍵．古典概型要求所有結果出現的可能性都相等，強調所有結果中每一結果出現的概率都相同．同時（2）中概率、數學期望的計算也是高考的熱點．對于數學期望的計算則要熟練掌握運算方法和步驟．