Question

圖中的曲線叫雪花曲線(Koch　Snowflake)，它的生成方法是：

(1)將正三角形圖(1)的每邊三等分，并以中間的那一條線段為一底邊向形外作等邊三角形，然后去掉底邊，得到圖(2)；

(2)將圖(2)的每邊三等分，重復上述的作圖方法，得到圖(3)；

(3)再按上述方法繼續做下去，就可以得到圖(4)所示的曲線．

將圖(1)、(2)、(3)…中的圖形依次記作M₁、M₂、M₃、…．

思考1：請分別說出M₁、M₂、M₃的邊數，想一想、如何得到M₄的邊數？

思考2：如果知道了M_n－1的邊數，我們能否知道M_n的邊數？

Answer 1

答案：
解析：

思考1： 　　可以發現M1的一條邊都相應變成M2的4條邊，即M2的邊數是M1的邊數的4倍，得M2的邊數是12；M2的一條邊都相應變成M3的4條邊，即M3的邊數是M2的邊數的4倍，得M3的邊數為48；同樣M3的每一條邊都相應變成M4的4條邊，即M4的邊數是M3的邊數的4倍，得M4的邊數為是192．(如圖) 　　思考2： 　　學生有了對M2、M3、M4的探索經驗，在初步形成的等比概念的指導下，結合電腦直觀演示，較快地得出Mn的邊數是Mn－1的邊數的4倍． 　　若邊數為bi(i＝1，2，3，…，n)，則bi+1＝4bi(i＝1，2，3，…，n)．