Question

設(shè)二次函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，有恒成立；數(shù)列滿足.
（1）求函數(shù)的解析式和值域；
（2）試寫出一個(gè)區(qū)間，使得當(dāng)時(shí)，數(shù)列在這個(gè)區(qū)間上是遞增數(shù)列，并說(shuō)明理由；
（3）已知，是否存在非零整數(shù)，使得對(duì)任意，都有
 恒成立，若存在，
求之；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

解：（1）由恒成立等價(jià)于恒成立，…1分
從而得：，化簡(jiǎn)得，從而得，
所以，………3分
其值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823180035765453.gif" style="vertical-align:middle;" />.…………………4分
（2）解：當(dāng)時(shí)，數(shù)列在這個(gè)區(qū)間上是遞增數(shù)列，證明如下：
設(shè)，則，
所以對(duì)一切，均有；………………7分


從而得，即，所以數(shù)列在區(qū)間上是遞增數(shù)列…10分
注：本題的區(qū)間也可以是、、等無(wú)窮多個(gè).
另解：若數(shù)列在某個(gè)區(qū)間上是遞增數(shù)列，則
即…7分
又當(dāng)時(shí)，，
∴對(duì)一切，均有且，
∴數(shù)列在區(qū)間上是遞增數(shù)列.…………………………10分
（3）（文科）由（2）知，從而；
，
即； ………12分
令，則有且；
從而有，可得，
∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，………14分
從而得，即，
∴ ，
∴，∴， …16分
∴，
.   ………………………18分
（3）（理科）由（2）知，從而；
，
即；………12分
令，則有且；
從而有，可得，所以數(shù)列是為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，…………………14分
從而得，即，
所以 ，
所以，所以，
所以，
.………………………16分
即，所以，恒成立
（1）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，即恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值為。
（2）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，即恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值為。
所以，對(duì)任意，有。又非零整數(shù)，…………18分

略