Question

用單調性定義判斷函數f（x）=

2x+1

x-2

在區間（2，+∞）上的單調性，并求f（x）在區間[3，6]上的最值．

Answer 1

分析：設2＜x₁＜x₂，通過作差比較f（x₁）與f（x₂）的大小，根據單調性的定義可作出判斷，利用函數單調性即可求出函數f（x）在在區間[3，6]上的最值．

解答：解：設2＜x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

2x1+1

x1-2

-

2x2+1

x2-2

=

5(x2-x1)

(x1-2)(x2-2)

，
∵2＜x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，x₁-2＞0，x₂-2＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=

5(x2-x1)

(x1-2)(x2-2)

＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
∴函數f（x）在區間（2，+∞）上是減函數．  
∴函數f（x）在區間[3，6]上是減函數．
∴f（x）的最大值為f（3）=7，
f（x）的最小值為f（6）=

13

4

．

點評：本題考查函數單調性的判斷及其應用，屬基礎題，定義是證明判斷函數單調性的基本方法．