Question

已知函數(shù)f(x)=

x3

3

+

1

2

ax2+2bx+c的兩個(gè)極值分別為f（x₁），f（x₂），若x₁，x₂分別在區(qū)間（0，1）與（1，2）內(nèi)，則

b-2

a-1

的取值范圍是（　　）

• A．(-1，-

  1

  4

  )
• B．（-∞，-

  1

  4

  ）∪（1，+∞）
• C．(

  1

  4

  ，1)
• D．(

  1

  2

  ，2)

Answer 1

分析：先根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的兩個(gè)根的分布建立a、b的約束條件，而

b-2

a-1

可看作點(diǎn)P（1，2）與陰影部分內(nèi)一點(diǎn)（a，b）連線的斜率，由此問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃求范圍問題，然后利用線性規(guī)劃的方法求出目標(biāo)函數(shù)的取值范圍即可．

解答：解：∵函數(shù) f(x)=

x3

3

+

1

2

ax2+2bx+c
∴f′（x）=x²+ax+2b=0的兩個(gè)根為x₁，x₂，
∵x₁，x₂分別在區(qū)間（0，1）與（1，2）內(nèi)
∴

f′(0)＞0 f′(2)＞0 f′(1)＜0

⇒

b＞0 a+b+2＞0 a+2b+1＜0

畫出區(qū)域如圖，
而

b-2

a-1

可看作點(diǎn)P（1，2）與陰影部分內(nèi)一點(diǎn)（a，b）連線的斜率，如圖綠色線即為符合條件的直線的邊界，
M，N兩個(gè)點(diǎn)為邊界處的點(diǎn)，
當(dāng)連線過M（-3，1）時(shí)，kPM=

2-1

1+3

=

1

4

，
當(dāng)連線過N（-1，0）時(shí)，kPN=

2-0

1+1

=1，
由圖知

b-2

a-1

∈(

1

4

，1)．
故選C．

點(diǎn)評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及利用線性規(guī)劃的知識解題，屬于基礎(chǔ)題．