Question

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}，設(shè)其前n項(xiàng)和為S_n，且滿(mǎn)足：Sn=(

an+1

2

)2．
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)bn=

1

anan+1

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)Sn=(

an+1

2

)2求出a₁，然后代入即可求出a₂與a₃；
（2）由Sn=(

an+1

2

)2得4S_n=（a_n+1）²，得4S_n+1=（a_n+1+1）²，兩者作差，研究{a_n}的相鄰項(xiàng)的關(guān)系，由此關(guān)系求其通項(xiàng)即可．
（3）由（2）可得 bn=

1

an•an+1

=

1

(2n-1)•[2(n+1)-1]

=

1

2

×(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，裂項(xiàng)求和即可．

解答：解：（1）由Sn=(

an+1

2

)2得a1=S1=(

a1+1

2

)2，解得a₁=1
由1+a2=S2=(

a2+1

2

)2解得a₂=3
由1+3+a3=S3=(

a3+1

2

)2解得a₃=5
（2）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1
當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=(

an+1

2

)2-(

an-1+1

2

)2
整理得：（a_n-1）²=（a_n-1+1）²
化簡(jiǎn)得：a_n-a_n-1=2
所以{a_n}是公差為2，首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，
即a_n=a₁+（n-1）×2=2n-1
（3）bn=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
Tn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…(+

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

2

(1-

1

2n+1

) =

n

2n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列求和，求解的關(guān)鍵是根據(jù)其通項(xiàng)的形式將其項(xiàng)分為兩項(xiàng)的差，采用裂項(xiàng)求和的技巧求和，在裂項(xiàng)時(shí)要注意分母上兩個(gè)因子相差2不是1，故裂項(xiàng)后應(yīng)乘以

1

2

，此是裂項(xiàng)時(shí)空間出錯(cuò)的地方．