Question

【題目】已知函數f（x）= 是定義域在R上的奇函數，且f（2）= ．
（1）求實數a、b的值；
（2）判斷函數f（x）的單調性，并用定義證明；
（3）解不等式：f（log （2x﹣2）]+f[log2（1﹣ x）]≥0．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可知f（x）定義域在R上的奇函數可得f（0）=0，f（2）=

即： ，解得：

即實數a=2、b=﹣3

（2）解：由（1）f（x）= =2﹣

函數f（x）在R上為增函數，

證明：在R上任x1，x2，且x1＜x2，

則f（x1）﹣f（x2）=2﹣ ﹣（2﹣ ）=

∵x1＜x2，∴ ，∴ ＜0即f（x1）﹣f（x2）＜0

∴函數f（x）在R上為增函數．

（3）解：不等式：f（log （2x﹣2）]+f[log2（1﹣ x）]≥0．

等價轉化為：f（log （2x﹣2）]≥﹣f[log2（1﹣ x）]

∵f（x）定義域在R上的奇函數

∴f（log （2x﹣2）]≥f[log （1﹣ x）]

又∵函數f（x）是R上的增函數，

∴log （2x﹣2）≥log （1﹣ x）

由

解得：

∴原不等式的解集為{x| }．

【解析】1、由題意可知f（x）定義域在R上的奇函數可得f（0）=0，由已知f（2）= ，由待定系數法可求得a=2，b=3。
2、根據（1）可求得函數的解析式。再根據函數增減性的定義可得證。
3、由題意轉化原式可得不等式：f（log （2x﹣2）]≥﹣f[log2（1﹣ x）]，再根據f（x）定義域在R上的奇函數，利用奇函數的定義可得f（log （2x﹣2）]≥f[log （1﹣ x）]，再利用函數f（x）是R上的增函數，由增函數的定義可得不等式組，解得x的取值范圍。
【考點精析】利用函數奇偶性的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．