Question

（2010•湖北模擬）如圖所示，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁=BC=2，且M是BC的中點，點N在CC₁上，NC=

1

2

（1）求證：AB₁⊥MN
（2）求二面角M-AB₁-N的大小．

Answer 1

分析：（1）可利用三垂線定理證明：即證明MN與AB₁的射影垂直．故可連接MA、B₁M則根據正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中的性質可得平面ABC⊥平面BB₁C₁C再利用面面垂直的性質定理可得
AM⊥平面BB₁C₁C從而可得B₁M是AB₁在平面BB₁C₁C上的射影然后再利用三角形的有關知識證明出B₁M⊥MN即可．
（2）利用二面角的定義先將二面角M-AB₁-N的平面角作出來然后在解三角形即可：由（1）知可過點M作ME⊥AB₁，垂足為E，連接EN則根據三垂線定理可得EN⊥AB₁則根據二面角的定義∠MEN即為二面角M-AB₁-N的平面角然后在解三角形MEN求出∠MEN即可．

解答：解：（1）連接MA、B₁M，
在正△ABC中AM⊥BC，
又∵平面ABC⊥平面BB₁C₁C，
∴AM⊥平面BB₁C₁C，B₁M是AB₁在平面BB₁C₁C上的射影，M是BC的中點，N在CC₁上，NC=

1

2

∴在Rt△B₁BM與Rt△MCN中，

NC

MC

=

BM

BB1

=

1

2

，
∴∠BB₁M=∠NMC，∠BMB₁=∠MNC，∴∠B₁MN=90°．
∴B₁M⊥MN，由三垂線定理知AB₁⊥MN．（6分）
（2）過點M作ME⊥AB₁，垂足為E，連接EN，由（1）知MN⊥平面AMB₁，
∴EN⊥AB₁（三垂線定理），∴∠MEN即為二面角M-AB₁-N的平面角，由AM⊥平面BC₁，知AM⊥B₁M．
在Rt△AMB₁中，ME=

3 • 5

2 2

=

30

4

，又MN=

1+( 1 2 )2

=

5

2

，
故在Rt△EMN中，tan∠MEN=

MN

ME

=

6

3

，
∴二面角M-AB₁-N的正切值為

6

3

點評：本題主要考察了線線垂直的證明和二面角的求解，屬常考題目，較難．解題的關鍵是要掌握證明線線垂直的常用方法：三垂線定理或其逆定理而對于二面角的求解要現根據二面角的定義作出其平面角然后再證明此角即為其平面角即常說的“先作后證”！