Question

已知函數f（x）=ln（e^x+a）（a＞0）．
（1）求函數y=f（x）的反函數y=f^-1（x）及f（x）的導數f′（x）；
（2）假設對任意x∈[ln（3a），ln（4a）]，不等式|m-f^-1（x）|+ln（f′（x））＜0成立，求實
數m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）、設y=ln（e^x+a），a＞0，則e^y=e^x+a，∴e^x=e^y-a，a＞0，∴x=ln（e^y-a），x，y互換得到函數y=f（x）的反函數f^-1（x）=ln（e^x-a），x∈R；f′（x）=．
（2）、由|m-f^-1（x）|+ln（f'（x））＜0得ln（e^x-a）-ln（e^x+a）+x＜m＜ln（e^x-a）+ln（e^x+a）-x．
設?（x）=ln（e^x-a）-ln（e^x+a）+x，ψ（x）=ln（e^x-a）+ln（e^x+a）-x，
于是原不等式對于x∈[ln（3a），ln（4a）]恒成立等價于?（x）＜m＜ψ（x）．
由，注意到0＜e^x-a＜e^x＜e^x+a，故有?'（x）＞0，ψ'（x）＞0，從而可?（x）與?（x）均在[ln（3a），ln（4a）]上單調遞增，因此不等式?（x）＜m＜ψ（x）成立當且僅當?（ln（4a））＜m＜ψ（ln（3a））．即
分析：（1）、設y=ln（e^x+a），a＞0，把y看作常數，解出x后把x，y互換就得到函數y=f（x）的反函數f^-1（x）．再由復合函數的求解法則解出f（x）的導數f′（x）．
（2）、由|m-f^-1（x）|+ln（f'（x））＜0得ln（e^x-a）-ln（e^x+a）+x＜m＜ln（e^x-a）+ln（e^x+a）-x．原不等式對于x∈[ln（3a），ln（4a）]恒成立等價于ln（e^x-a）-ln（e^x+a）+x＜ln（e^x-a）+ln（e^x+a）-x．再通過導數運算和函數的單調性求出實數m的取值范圍．
點評：本題是對數函數、反函數和導數的綜合應用題，考查反函數和復合函數的求導，具有一定的難度．在解題時要注意轉化思想的靈活運用．