Question

已知等比數列{a_n} 的各項均為正數，且公比不等于1，數列{b_n}對任意正整數n，均有：（b_n+1-b_n+2）•log₂a₁+（b_n+2-b_n）•log₂a₃+（b_n-b_n+1）•log₂a₅=0 成立，b₁=1，b₇=13；
（1）求數列{b_n}的通項公式及前n項和S_n；
（2）在數列{b_n}中依次取出第1項，第2項，第4項，第8項，…，第2^n-1項，…，組成一個新數列 {c_n}，求數列 {c_n}的前n項和T_n；
（3）對（1）（2）中的S_n、T_n，當n≥3時，比較T_n與S_n的大小．

Answer 1

分析：（1）設公比為q（q≠1），a₃=a₁q²，a₅=a₁q⁴ 代入已知條件（b_n+1-b_n+2）•log₂a₁+（b_n+2-b_n）•log₂a₃+（b_n-b_n+1）•log₂a₅=0，化簡可b_n+2+b_n=2b_n+1，所以數列{b_n}是等差數列，故可求數列{b_n}的通項公式及前n項和S_n；
（2）觀察通項公式可知采用分組求和，再分別代入等比數列及等差數列的求和公式，即可求得．
（3）先猜后證，計算n=3時，T₃-S₃=2＞0；n=4時，T₄-S₄=10＞0；猜測n≥3（n∈N）時，T_n＞S_n，從而利用數學歸納法進行證明．

解答：解：（1）設公比為q（q≠1），a₃=a₁q²，a₅=a₁q⁴ …（2分）
代入：（b_n+1-b_n+2）•log₂a₁+（b_n+2-b_n）•log₂a₃+（b_n-b_n+1）•log₂a₅=0得
∴[（b_n+1-b_n+2）+（b_n+2-b_n）+（b_n-b_n+1）]log₂a₁+2[（b_n+2-b_n）+2（b_n-b_n+1）]log₂q=0
即（b_n+2+b_n-2b_n+1）log₂q=0
∵q≠1，∴log₂q≠0
∴b_n+2+b_n=2b_n+1，∴數列{b_n}是等差數列   …（4分）
∵d=

b7-b1

7-1

=2
∴b_n=2n-1，S_n=n²   …（6分）
（2）∵c_n=2•2^n-1-1=2ⁿ-1
∴T_n=（2¹-1）+（2²-1）+（2³-1）+…+（2ⁿ-1）=（2¹+2²+2³+…+2ⁿ）-n=2ⁿ⁺¹-n-2
  即數列{b_n}的前n項和S_n=

2(1-2n)

1-2

-n=2ⁿ⁺¹-n-2…（8分）
（3）T_n-S_n=2ⁿ⁺¹-（n²+n+2）
n=3時，T₃-S₃=2＞0；n=4時，T₄-S₄=10＞0；
猜測n≥3（n∈N）時，T_n＞S_n            …（10分）
用數學歸納法證明如下
①n=3時，T₃-S₃=2＞0（已證）
②假設n=k（k≥3）時不等式成立，即2^k+1＞k²+k+2 …（12分）
n=k+1時，2^k+2=2•2^k+1＞2（k²+k+2）
又2（k²+k+2）-[（k+1）²+（k+1）+2]=k²-k＞0
∴2^k+2＞2（k²+k+2）＞（k+1）²+（k+1）+2
∴T_k+1＞S_k+1
即n=k+1時，不等式成立．
由①②知，當當n≥3時，T_n＞S_n …（14分）

點評：本題屬于數列綜合運用題，考查了由所給的遞推關系證明數列的性質，對所給的遞推關系進行研究求數列的遞推公式以及利用數列的求和公式求其和，難度較大，綜合性很強，對答題者探究的意識與探究規律的能力要求較高，是一道能力型題．