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【題目】若函數(shù)h(x)滿足
①h(0)=1,h(1)=0;
②對任意a∈[0,1],有h(h(a))=a;
③在(0,1)上單調(diào)遞減.則稱h(x)為補(bǔ)函數(shù).已知函數(shù)h(x)= (λ>﹣1,p>0)
(1)判函數(shù)h(x)是否為補(bǔ)函數(shù),并證明你的結(jié)論;
(2)若存在m∈[0,1],使得h(m)=m,若m是函數(shù)h(x)的中介元,記p= (n∈N+)時h(x)的中介元為xn , 且Sn= ,若對任意的n∈N+ , 都有Sn ,求λ的取值范圍;
(3)當(dāng)λ=0,x∈(0,1)時,函數(shù)y=h(x)的圖象總在直線y=1﹣x的上方,求P的取值范圍.

【答案】
(1)

解:函數(shù)h(x)是補(bǔ)函數(shù),證明如下:

①h(0)= =1,h(1)= =0;

②任意a∈[0,1],有h(h(a))=h( )= =a

③令g(x)=(h(x))p,有g(shù)′(x)= =

又因?yàn)棣耍京?,p>0,

所以當(dāng)x∈(0,1)時,g′(x)<0,所以g(x)在(0,1)上是減函數(shù),故h(x)在(0,1)上是減函數(shù)

由上證,函數(shù)h(x)是補(bǔ)函數(shù)


(2)

解:當(dāng)p= (n∈N*),由h(x)=x得

(i)當(dāng)λ=0時,中介元xn=

(ii)當(dāng)λ>﹣1且λ≠0時,由(*)得 = ∈(0,1)或 = (0,1),得中介元xn=

綜合(i)(ii):對任意的λ>﹣1,中介元為xn=

于是當(dāng)λ>﹣1時,有Sn= = =

當(dāng)n無限增大時, 無限接近于0,Sn無限接近于

故對任意的非零自然數(shù)n,Sn 等價于 ,即λ∈[3,+∞)


(3)

解:當(dāng)λ=0時,h(x)= ,中介元為

<>(i)0<p≤1時, ,中介元為 ,所以點(diǎn)(xp,h(xp))不在直線y=1﹣x的上方,不符合條件;

(ii)當(dāng)p>1時,依題意只需 >1﹣x在x∈(0,1)時恒成立,也即xp+(1﹣x)p<1在x∈(0,1)時恒成立

設(shè)φ(x)=xp+(1﹣x)p,x∈(0,1),則φ′(x)=p(xp1﹣(1﹣x)p1

令φ′(x)=0,得x= ,且當(dāng)x∈(0, )時,φ′(x)<0,當(dāng)x∈( ,1)時,φ′(x)>0,又φ(0)=φ(1)=1,所以x∈(0,1)時,φ(x)<1恒成立.

綜上,p的取值范圍是(1,+∞)


【解析】(1)可通過對函數(shù)h(x)= (λ>﹣1,p>0)進(jìn)行研究,探究其是否滿足補(bǔ)函數(shù)的三個條件來確定函數(shù)是否是補(bǔ)函數(shù);
(2)由題意,先根據(jù)中介元的定義得出中介元xn通式,代入Sn= ,計算出和,然后結(jié)合極限的思想,利用Sn 得到參數(shù)的不等式,解出它的取值范圍;
(3)λ=0,x∈(0,1)時,對參數(shù)p分類討論由函數(shù)y=h(x)的圖象總在直線y=1﹣x的上方這一位置關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化,解出p的取值范圍.

練習(xí)冊系列答案
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分?jǐn)?shù)段

[50,60)

[60,70)

[70,80)

[80,90)

1:1

2:1

3:4

4:5

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