Question

某單位設計一個展覽沙盤，現欲在沙盤平面內，布設一個對角線在l上的四邊形電氣線路，如圖所示。為充分利用現有材料，邊BC，CD用一根5米長的材料彎折而成，邊BA，AD用一根9米長的材料彎折而成，要求∠A和∠C互補，且AB＝BC，
（1）設AB＝x米，cosA＝f（x），求f（x）的解析式，并指出x的取值范圍；
（2）求四邊形ABCD面積的最大值。

Answer 1

解：（1）在△ABD中，
由余弦定理得BD²＝AB²+AD²-2AB·AD·cosA，
同理，在△CBD中，BD²＝CB²+CD²-2CB·CD·cosC，
因為∠A和∠C互補，
所以AB²+AD²-2AB·AD·cosA＝CB²+CD²-2CB·CD·cosC
＝CB²+CD²＋2CB·CD·cosA，
即x²+（9-x）²-2x（9-x）cosA＝x²+（5-x）²＋2x（5-x）cosA，
解得cosA＝，
即f（x）＝，其中x∈（2，5）。
（2）四邊形ABCD的面積S＝（AB·AD+ CB·CD）sinA
＝[x（5-x）+x（9-x）]
＝x（7-x），
記g（x）＝（x²-4）（x²-14x＋49），x∈（2，5），
由g′（x）＝2x（x²-14x＋49）＋（x²-4）（2x-14）
＝2（x-7）（2x²-7 x-4）＝0，
解得x＝4（x＝7和x＝舍），     
所以函數g（x）在區間（2，4）內單調遞增，在區間（4，5）內單調遞減，
因此g（x）的最大值為g（4）＝12×9＝108，
所以S的最大值為，
答：所求四邊形ABCD面積的最大值為6m²。