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（矩陣與變換）已知二階矩陣M有特征值及對應的一個特征向量，并且矩陣M對應的變換將點變換成。（1）求矩陣M；（2）求矩陣M的另一個特征值，及對應的一個特征向量e₂的坐標之間的關系。

：(Ⅰ) (Ⅱ)

解析:

：（1）設M=，則=8=，故

=，故

聯立以上兩方程組解得a=6，b=2，c=4，d=4，故M=．

（2）由（1）知，矩陣M的特征多項式為，故其另一個特征值為。設矩陣M的另一個特征向量是e₂，則M e₂=，解得。

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相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（選修4-2：矩陣與變換）已知二階矩陣M有特征值λ=4及對應的一個特征向量

	1
	1

，并且矩陣M對應的變換將點（-1，1）變換成（-2，4）．
（Ⅰ）求矩陣M；
（Ⅱ）求直線l：x-y+1=0在矩陣M的作用下的直線l′的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（1）（矩陣與變換）已知二階矩陣M=

0	-1
2	3

．
（Ⅰ）求矩陣M的逆矩陣；
（Ⅱ）設向量

-1

，求M100

．
（2）（坐標系與參數方程）
已知曲線C₁的參數方程為

x=1+2cosθ

y=-1+2sinθ

（θ是參數），曲線C₂的極坐標方程為θ=

（ρ∈R）．
（Ⅰ）求曲線C₁的普通方程和曲線C₂的平面直角坐標方程；
（Ⅱ）設曲線C₁和曲線C₂相交于A，B兩點，求弦長|AB|．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計20分，請在答題紙指定區域內作答，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．選修4-1：（幾何證明選講）
如圖，從O外一點P作圓O的兩條切線，切點分別為A，B，
AB與OP交于點M，設CD為過點M且不過圓心O的一條弦，
求證：O，C，P，D四點共圓．
B．選修4-2：（矩陣與變換）
已知二階矩陣M有特征值λ=3及對應的一個特征向量e₁=[

]，并且矩陣M對應的變換將點（-1，2）變換成（9，15），求矩陣M．
C．選修4-4：（坐標系與參數方程）
在極坐標系中，曲線C的極坐標方程為p=2

sin（θ-

），以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，直線l的參數方程為

x=1+

y=-1-

（t為參數），求直線l被曲線C所截得的弦長．
D．選修4-5（不等式選講）
已知實數x，y，z滿足x+y+z=2，求2x²+3y²+z²的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

[選做題]在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，計20分．請把答案寫在答題紙的指定區域內．
A．（選修4-1：幾何證明選講）
如圖，圓O的直徑AB=8，C為圓周上一點，BC=4，過C作圓的切線l，過A作直線l的垂線AD，D為垂足，AD與圓O交于點E，求線段AE的長．
B．（選修4-2：矩陣與變換）
已知二階矩陣A有特征值λ₁=3及其對應的一個特征向量α1=

，特征值λ₂=-1及其對應的一個特征向量α2=

-1

，求矩陣A的逆矩陣A^-1．
C．（選修4-4：坐標系與參數方程）
以平面直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系（兩種坐標系中取相同的單位長度），已知點A的直角坐標為（-2，6），點B的極坐標為(4，

)，直線l過點A且傾斜角為

，圓C以點B為圓心，4為半徑，試求直線l的參數方程和圓C的極坐標方程．
D．（選修4-5：不等式選講）
設a，b，c，d都是正數，且x=

a2+b2

，y=

c2+d2

．求證：xy≥

(ac+bd)(ad+bc)

．

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科目：高中數學 來源： 題型：

選修4-2　矩陣與變換．
已知二階矩陣M

，M

，求M2

-1

．

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