Question

（本題滿分14分）如圖, 在直三棱柱中，，,

，點是的中點．

⑴求證：；

⑵求證：平面；

⑶求二面角的正切值．

 

Answer 1

【答案】

⑴見解析；⑵見解析；⑶

【解析】本試題主要考查了立體幾何中的線線垂直的證明，以及線面平行的判定和二面角的平面角的求解的綜合運用。

（1）由于已知中三棱柱的性質和三角形可知，得到結論。

（2）利用線線平行來判定得到線面平行的證明。

（3）由于二面角的平面角可以建立空間直角坐標系，求解平面的法向量來表示夾角得到二面角 平面角的求解。

證明：⑴、在直三棱柱，

∵底面三邊長，，，∴ ，………1分

又直三棱柱中，，且,

，∴．……………3分

而，∴；…………………………4分

⑵、設與的交點為，連結，…5分

∵ 是的中點，是的中點，∴ ，………7分

∵ ，，∴.…8分

⑶、過點C作CF⊥AB于F，連接C₁F.…………9分

由已知C₁C垂直平面ABC，

則∠C₁FC為二面角的平面角。………11分

在Rt△ABC中，，,,則…………12分

又,∴ ，……………13分

∴二面角的正切值為．…………………………14分

（另：可以建立空間直角坐標系用向量方法完成，酌情給分，過程略）