解:(1)如果f(x)為偶函數,則f(-x)=f(x)即m
-x+kn
-x=m
x+kn
x恒成立,
即:n
x+km
x=m
x+kn
x,(n
x-m
x)+k(m
x-n
x)=0,則 (n
x-m
x)(k-1)=0
由n
x-m
x=0不恒成立,得k=1
如果f(x)為奇函數,則f(-x)=-f(x)即m
-x+kn
-x=-m
x-kn
x恒成立,
即:n
x+km
x=-m
x-kn
x,(n
x+m
x)+k(m
x+n
x)=0,則 (n
x+m
x)(k+1)=0
由n
x+m
x=0不恒成立,得k=-1
(2)m>1>n>0,則

,
∴當k≤0時,顯然f(x)=m
x+kn
x在R上為增函數;
當k>0時,f'(x)=m
xlnm+kn
xlnn=[

lnm+klnn]n
x=0,
由n
x>0得

lnm+klnn=0得

=-k

=-klog
mn得x=

.
∴當x∈(-∞,

]時,f'(x)<0,f(x)為減函數;
當x∈[

,+∞)時,f'(x)>0,f(x)為增函數.
(3)當m=2,n=

時,f(x)=2
x+k2
-x如果k<0,f(x)=2
x+k2
-x=2
x-(-k)2
-x=2
x-

,
則f(log
2(-k)-x)=-f(x)∴函數y=f(x)有對稱中心(

log
2(-k),0)
如果k>0,f(x)=2
x+k2
-x=2
x+

,
則f(log
2k-x)=f(x)
∴函數y=f(x)有對稱軸x=

log
2k.
分析:(1)如果f(x)為偶函數,則f(-x)=f(x)即m
-x+kn
-x=m
x+kn
x恒成立,轉化成(n
x-m
x)(k-1)=0,根據n
x-m
x=0不恒成立,可求出k的值,如果f(x)為奇函數,則f(-x)=-f(x)即m
-x+kn
-x=-m
x-kn
x恒成立,可轉化成(n
x+m
x)(k+1)=0,根據n
x+m
x=0不恒成立,可求出k的值;
(2)根據m>1>n>0,則

,當k≤0時,顯然f(x)=m
x+kn
x在R上為增函數,當k>0時,求出導函數f'(x),令f'(x)=0求出極值點,從而求出函數的單調區間;
(3)當m=2,n=

時,f(x)=2
x+k2
-x,如果k<0,根據f(log
2(-k)-x)=-f(x)得到函數y=f(x)有對稱中心(

log
2(-k),0),如果k>0,根據f(log
2k-x)=f(x)得到函數y=f(x)有對稱軸x=

log
2k.
點評:本題主要考查了函數奇偶性的判斷,以及利用導數研究函數的單調性和圖形的對稱性,同時考查了計算能力和轉化的數學思想,屬于難題.