Question

設橢圓過點，且著焦點為

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）當過點的動直線與橢圓相交于兩不同點時，在線段上取點，滿足，證明：點總在某定直線上

Answer 1

本題主要考查直線、橢圓的方程及幾何性質、線段的定比分點公式等基礎知識、基本方法和分析問題、解決問題的能力。

解 (1)由題意：

           ，解得，所求橢圓方程為

(2)方法一

 設點Q、A、B的坐標分別為。

由題設知均不為零，記,則且

又A，P，B，Q四點共線，從而

于是           ，     

               ，    

從而

       ，（1）   ，（2）

又點A、B在橢圓C上，即

                 

  （1）+（2）×2并結合（3），（4）得4x+2y=4.

即點總在定直線上

方法二

設點，由題設，均不為零。

且

又 四點共線，可設,于是

                             （1）

                             （2）

由于在橢圓C上，將（1），（2）分別代入C的方程整理得

      （3）

       (4)

(4)－(3) 　　　得  

即點總在定直線上