Question

某校數學課外小組在坐標紙上，為學校的一塊空地設計植樹方案如下：第k棵樹種植在點P_k（x_k，y_k）處，其中x₁=1，y₁=1，當k≥2時，

xk=xk-1+1-5[T( k-1 5 )-T( k-2 5 )] yk=yk-1+T( k-1 5 )-T( k-2 5 )

T（a）表示非負實數a的整數部分，例如T（2.6）=2，T（0.2）=0．按此方案，第6棵樹種植點的坐標應為

 

；第2009棵樹種植點的坐標應為

 

．

Answer 1

分析：由題意可知，數列x_n為1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，…；數列{y_n}為1，1，1，1，1，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，4，4，4，4，4，…由此入手能夠得到第6棵樹種植點的坐標和第2009棵樹種植點的坐標．

解答：解：∵T(

k-1

5

) -T(

k-2

5

)組成的數列為0，0，0，0，1，0，0，0，0，1，0，0，0，0，1…，k=2，3，4，5，…
一一代入計算得數列x_n為1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，1，2，3，4，5，…
即x_n的重復規律是x_5n+1=1，x_5n+2=2，x_5n+3=3，x_5n+4=4，x_5n=5．n∈N^*．
數列{y_n}為1，1，1，1，1，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，4，4，4，4，4，…
即y_n的重復規律是y_5n+k=n，0≤k＜5．
∴由題意可知第6棵樹種植點的坐標應為（1，2）；第2009棵樹種植點的坐標應為（4，402）．

點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要注意創新題的靈活運用．