Question

【題目】已知雙曲線 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2 ， 過右焦點F2且與x軸垂直的直線與雙曲線兩條漸近線分別交于A，B兩點，若△ABF1為等腰直角三角形，且|AB|=4 ，P（x，y）在雙曲線上，M（ ， ），則|PM|+|PF2|的最小值為（ ）
A. ﹣1
B.2
C.2 ﹣2
D.3

Answer 1

【答案】D
【解析】解：雙曲線的左、右焦點分別為F1（﹣c，0），F2（c，0），

漸近線方程為y=± x，

令x=c，解得y=± ，

可得|AB|= ，

若△ABF1為等腰直角三角形，且|AB|=4 ，

即有 =4 ，2c=2 ，c2=a2+b2，

解得a=1，b=2，c= ，

即有雙曲線的方程為x2﹣ =1，

由題意可知若P在左支上，由雙曲線的定義可得|PF2|=2a+|PF1|，

|PM|+|PF2|=|PM|+|PF1|+2a≥|MF1|+2= +2=7，

當且僅當M，P，F1共線時，取得最小值7；

若P在右支上，由雙曲線的定義可得|PF2|=|PF1|﹣2a，

|PM|+|PF2|=|PM|+|PF1|﹣2a≥|MF1|﹣2= ﹣2=3，

當且僅當M，P，F1共線時，取得最小值3．

綜上可得，所求最小值為3．

故選：D．