Question

以正五邊形ABCDE中A、C為焦點的雙曲線經過點D、E，則雙曲線的離心率為

 

．

Answer 1

分析：如圖所示，建立直角坐標系．設C（2，0）．利用sin18°=

5 -1

4

和正五邊形的性質可得：|BC|=

2

cos36°

，又|AD|=2|AE|cos36°=4．利用雙曲線的定義可得2a=|AD|-|CD|，即可得出a．再利用e=

c

a

即可得出．

解答：解：如圖所示，建立直角坐標系．設C（2，0）．
∵sin18°=

5 -1

4

．
則|BC|=

2

cos36°

=

2

1-2sin218°

=2(

5

-1)．
又|AD|=2|AE|cos36°=4．
∴2a=|AD|-|CD|=4-2(

5

-1)=6-2

5

，∴a=3-

5

，
∴e=

c

a

=

2

3- 5

=

3+ 5

2

．
故答案為

3+ 5

2

．

點評：熟練掌握正五邊形的性質、一些角的三角函數值、離心率計算公式等是解題的關鍵．