Question

【題目】證明．
（1）用數學歸納法證明：12+22+32+…+n2= ，n是正整數；
（2）用數學歸納法證明不等式：1+ + +…+ ＜2 （n∈N*）

Answer 1

【答案】
（1）證明：①n=1時，左邊=12=1，右邊= =1，等式成立，

②假設n=k時，等式成立，即12+22+32+…+k2= ，

則n=k+1時，12+22+32+…+k2+（k+1）2= +（k+1）2

= [2k2+k+6（k+1）]

= （2k2+7k+6）

= = ．

∴當n=k+1時，等式成立，

由①②得：12+22+32+…+n2= ．

（2）證明：①n=1時，顯然不等式成立，

②假設n=k時，不等式成立，即1+ + +…+ ＜2 ．

則當n=k+1時，1+ + +…+ + ＜2 + = ＜ =2 ．

∴當n=k+1時，不等式成立．

由①②得1+ + +…+ ＜2 ．

【解析】根據數學歸納法的證明步驟先驗證n=1時結論成立，再假設n=k時，結論成立，推導n=k+1時結論成立即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解數學歸納法的定義(數學歸納法是證明關于正整數n的命題的一種方法)．