Question

設等差數列{a_n}的前n項和為S_n，等比數列{b_n}的前n項和為T_n，已知a₁=b₁=1，b₄=8，S₁₀=55．
（1）求數列{a_n}與{b_n}的通項公式； 
（2）求S_n與T_n．

Answer 1

分析：（1）設等差數列{a_n}的公差為d，等比數列{b_n}的公比為q，依題意可求得公差為d與公比為q，從而可求數列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（2）利用等差數列的求和公式與等比數列的求和公式即可求得S_n與T_n．

解答：解：（1）設等差數列{a_n}的公差為d，等比數列{b_n}的公比為q．
由S₁₀=55，得 10a₁+45d=55，…．（2分）
又a₁=1，所以10+45d=55，d=1…（3分）
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+（n-1）=n．…（5分）
由b₄=8，得b₁•q³=8，…（6分）
又b₁=1，所以q³=8，q=2．…（8分）
∴b_n=b₁•2^n-1=2^n-1…．（10分）
（2）S_n=

(a1+an)n

2

=

(1+n)n

2

=

1

2

n²+

1

2

n．…（12分）
T_n=

a1(1-qn)

1-q

=

(1-2n)

1-2

=2ⁿ-1．…（14分）

點評：本題分別考查等差數列與等比數列的通項公式，考查等差數列的求和公式與等比數列的求和公式，屬于中檔題．