Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=

1

5

，且當(dāng)n＞1，n∈N^*時，有

an-1

an

=

2an-1+1

1-2an

，
（1）求證：數(shù)列{

1

an

}為等差數(shù)列；
（2）試問數(shù)列{a_n}中的任意兩項(xiàng)a_m、a_k（m，k∈N*）的積a_m•a_k是否仍是數(shù)列{a_n}中的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)（用m，k表示）；如果不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）把原遞推關(guān)系式整理可得a_n-1-a_n=4a_n-1a_n，進(jìn)而得到

1

an

-

1

an-1

=4，可證：數(shù)列{

1

an

}為等差數(shù)列；
（2）先利用（1）求的通項(xiàng)代入a_m•a_k整理即可判斷a_m•a_k是否仍是數(shù)列{a_n}中的項(xiàng)．

解答：解：（1）由

an-1

an

=

2an-1+1

1-2an

得，a_n-1-a_n=4a_n-1a_n，則

1

an

-

1

an-1

=4
所以，數(shù)列{

1

an

}為等差數(shù)列（6分）
（2）由（1）得

1

an

=

1

a1

+4(n-1)=4n+1，an=

1

4n+1

．（8分）
所以am•ak=

1

4m+1

•

1

4k+1

=

1

(4m+1)(4k+1)

=

1

4(4mk+m+k)+1

，
所以a_m•a_k是數(shù)列{a_n}中的第（4mk+m+k）項(xiàng)．（14分）

點(diǎn)評：本題是對數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用．其中涉及到了判斷某一項(xiàng)是否為數(shù)列中的項(xiàng)的問題，在判斷某一項(xiàng)是否為數(shù)列中的項(xiàng)時，我們只要看其是否符合通項(xiàng)公式即可得出結(jié)論．