Question

（本小題滿分13分）

如圖, 是邊長為的正方形，平面，，，與平面所成角為.

(Ⅰ)求證：平面；

(Ⅱ)求二面角的余弦值；

(Ⅲ)設點是線段上一個動點，試確定點的位置，使得平面，并證明你的結論.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)， 平面 (Ⅱ) (Ⅲ)坐標為，

【解析】

試題分析：(Ⅰ) 因為平面，所以.                  ……2分

因為是正方形，所以，

又相交

從而平面.                                                  ……4分

(Ⅱ)因為兩兩垂直，

所以建立空間直角坐標系如圖所示.

因為與平面所成角為，即，                    ……5分

所以.

由可知，.                                   ……6分

則，，，，，

所以，，                              ……7分

設平面的法向量為，則，即，

令，則.                                            ……8分

因為平面，所以為平面的法向量，，

所以.                            ……9分

因為二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.              ……10分

(Ⅲ)點是線段上一個動點，設.

則，

因為平面，

所以，                                                    ……11分

即，解得.                                        ……12分

此時，點坐標為，，符合題意.                   ……13分

考點：本小題主要考查線面垂直的證明、二面角的求解和探索性問題的求解，考查學生的空間想象能力和運算求解能力以及推理論證能力.

點評：證明線面垂直時，不要忘記強調兩條直線相交；用向量求二面角時，要判斷二面角時銳角還是鈍角.