Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁．
（1）求二面角A-BD₁-C的大小；
（2）求BD₁與平面ACD₁所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）在平面ABD₁內，過A作AE⊥BD₁，交BD₁于E，連接CE，證明∠AEC為二面角A-BD₁-C的平面角，利用余弦定理，可求二面角A-BD₁-C的大小；
（2）利用等體積，求出BD₁與平面ACD₁的距離，即可求BD₁與平面ACD₁所成角的正弦值．
解答：解：（1）在平面ABD₁內，過A作AE⊥BD₁，交BD₁于E，連接CE

△AD₁B與△CD₁B中，AB=BC，AD₁=CD₁，BD₁=BD₁，∴△AD₁B≌△CD₁B，
∴AE=CE
∵AE⊥BD₁，∴CE⊥BD₁，
∴∠AEC為二面角A-BD₁-C的平面角
∵AB⊥平面ADD₁A₁，AD₁?平面ADD₁A₁，∴AB⊥AD₁，∴△ABD₁是Rt△，
設正方體的棱長為1，AD₁=，BD₁=，
由等面積可得AE•BD₁=AD_1•AB，∴AE=，
在△AEC中，根據余弦定理，cos∠AEC==-
∴∠AEC=120°，即二面角A-BD₁-C的大小為120°；
（2）設BD₁與平面ACD₁所成角為θ，BD₁與平面ACD₁的距離為h，則
由可得
∴h=
∵，∴sinθ==
∴BD₁與平面ACD₁所成角的正弦值為．
點評：本題主要考查正方體的性質、直線與平面所成的角，考查三棱錐體積公式的運用，考查余弦定理，考查學生的計算能力，屬于中檔題．