Question

以集合U={a，b，c，d}的子集中選出4個(gè)不同的子集，需同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：（1）∅、U都要選出；（2）對(duì)選出的任意兩個(gè)子集A和B，必有A⊆B或B⊆A，那么共有________種不同的選法．

Answer 1

解：因?yàn)閁，Φ都要選出
而所有任意兩個(gè)子集的組合必須有包含關(guān)系
故各個(gè)子集所包含的元素個(gè)數(shù)必須依次遞增
而又必須包含空集和全集
所以需要選擇的子集有兩個(gè)
設(shè)第二個(gè)子集的元素個(gè)數(shù)為1
有（a）（b）（c）（d）四種選法
（1）第三個(gè)子集元素個(gè)數(shù)為2
當(dāng)?shù)诙�個(gè)子集為（a）時(shí)
第三個(gè)子集的2個(gè)元素中必須包含a
剩下的一個(gè)從bcd中選取
有三種選法
所以這種子集的選取方法共有4×3=12種
（2）第三個(gè)子集中包含3個(gè)元素
同理三個(gè)元素必須有一個(gè)與第二個(gè)子集中的元素相同
共有4×3=12種
（3）第二個(gè)子集有兩個(gè)元素
有6種取法
第三個(gè)子集必須有3個(gè)元素且必須包含前面一個(gè)子集的兩個(gè)元素
有兩種取法
所以這種方法有6×2=12種
綜上一共有12+12+12=36種
故答案為：36．
分析：由題意知，子集A和B可以互換，即視為一種選法，從而對(duì)子集A分類討論當(dāng)A是單元集或是四元集，當(dāng)A是二元集，B相應(yīng)的只有兩種，當(dāng)A是三元集，B相應(yīng)的有6種結(jié)果，根據(jù)計(jì)數(shù)原理得到結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：題意的理解是一個(gè)難點(diǎn)，另外分類點(diǎn)比較多也是制約思維的一個(gè)瓶頸．本題考查集合的子集及利用排列組合知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，考查分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力．