Question

已知函數(shù)f（x）=x²（x-3a）+

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（a＞0，x∈R）．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的極值；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而確定函數(shù)的極值；
（Ⅱ）要使函數(shù)f（x）=0有三個(gè)不同的零點(diǎn)，必須f(2a)=-4a3+

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＜0．從而求出參數(shù)的范圍．

解答：解：當(dāng)f'（x）=3x（x-2a）．（2分）
令f'（x）=0，得x=0，或x=2a．且f(0)=

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，f(2a)=-4a3+

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．（6分）
（Ⅰ）當(dāng)a＞0時(shí)，2a＞0．
當(dāng)x變化時(shí)，函數(shù)在（-∞，0）增函數(shù)，在（0，2a）上單調(diào)減，在（2a，+∞）上單調(diào)增（8分）
∴當(dāng)a＞0時(shí)，在x=0處，函數(shù)f（x）有極大值f(0)=

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；在x=2a處，函數(shù)f（x）有極小值f(2a)=-4a3+

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．（10分）
（Ⅱ）要使函數(shù)f（x）=0有三個(gè)不同的零點(diǎn)，必須f(2a)=-4a3+

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＜0．（12分）
解得a＞

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．∴當(dāng)a∈(

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，+∞)時(shí)，函數(shù)y=f（x）有三個(gè)不同的零點(diǎn)．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，考查方程根的討論，屬于中檔題．