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已知橢圓+=1(a>b>0),直線l與橢圓交于A、B兩點,M是線段AB的中點,連接OM并延長交橢圓于點C.直線AB與直線OM的斜率分別為k、m,且km=-
(Ⅰ)求b的值;
(Ⅱ)若直線AB經過橢圓的右焦點F,問:對于任意給定的不等于零的實數k,是否存在a∈[2,+∞],使得四邊形OACB是平行四邊形,請證明你的結論.

【答案】分析:(Ⅰ)設出A,B,M的坐標,把A,B坐標代入橢圓的方程相減整理求得直線AB的斜率的表達式,同時利用m和km的表達式,整理求得b.
(Ⅱ)設出C和直線的方程代入橢圓的方程,根據OACB是平行四邊形,推斷出進而求得xc和yc的表達式,把點C代入橢圓,表示出k2,進而利用a的范圍求得k2的范圍,進而求得k的范圍,進而得出結論.
解答:解:(Ⅰ)設A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y),

兩式相減,得:

,③
又∵,∴b=1
(Ⅱ)設C(xC,yC),直線AB的方程為y=k(x-c)(k≠0),
代入橢圓方程
得(a2k2+1)x2-2a2k2cx+a2k2c2-a2=0
若OACB是平行四邊形,則
∴xc=x1+x2=
yc=y1+y2=k(x1-c)+k(x2-c)=k(x1+x2-2c)=
∵C在橢圓上∴

∴4k2-c2(a2k2+1)=(a2k2+1)2
4k2c2=a2k2+1∴k2=
∵c2=a2-1,a∈[2,+∞],∴k2=
∴-≤k≤且k≠0
∴當-≤k≤且k≠0時,存在a∈[2,+∞],
使得四邊形OACB是平行四邊形;
當k<-或k>時,不存在a∈[2,+∞],
使得四邊形OACB是平行四邊形.
點評:本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題.解決此類問題一般是轉化為研究方程組的解的問題,利用直線方程與圓錐曲線方程所組成的方程組消去一個變量后,將交點問題(包括公共點個數、與交點坐標有關的問題)轉化為一元二次方程根的問題,結合根與系數的關系及判別式解決問題.
練習冊系列答案
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B.=1

C.=1

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A、         B、         C、           D、

 

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