Question

已知橢圓+=1（a＞b＞0），直線l與橢圓交于A、B兩點，M是線段AB的中點，連接OM并延長交橢圓于點C．直線AB與直線OM的斜率分別為k、m，且km=-．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）若直線AB經過橢圓的右焦點F，問：對于任意給定的不等于零的實數k，是否存在a∈[2，+∞]，使得四邊形OACB是平行四邊形，請證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設出A，B，M的坐標，把A，B坐標代入橢圓的方程相減整理求得直線AB的斜率的表達式，同時利用m和km的表達式，整理求得b．
（Ⅱ）設出C和直線的方程代入橢圓的方程，根據OACB是平行四邊形，推斷出進而求得x_c和y_c的表達式，把點C代入橢圓，表示出k²，進而利用a的范圍求得k²的范圍，進而求得k的范圍，進而得出結論．
解答：解：（Ⅰ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），
則，
兩式相減，得：
又，，
∴，③
又∵，∴，∴b=1
（Ⅱ）設C（x_C，y_C），直線AB的方程為y=k（x-c）（k≠0），
代入橢圓方程，
得（a²k²+1）x²-2a²k²cx+a²k²c²-a²=0
若OACB是平行四邊形，則
∴x_c=x₁+x₂=，
y_c=y₁+y₂=k（x₁-c）+k（x₂-c）=k（x₁+x₂-2c）=
∵C在橢圓上∴
∴
∴4k²-c²（a²k²+1）=（a²k²+1）² ∴
4k²c²=a²k²+1∴k²=
∵c²=a²-1，a∈[2，+∞]，∴k²=
∴-≤k≤且k≠0
∴當-≤k≤且k≠0時，存在a∈[2，+∞]，
使得四邊形OACB是平行四邊形；
當k＜-或k＞時，不存在a∈[2，+∞]，
使得四邊形OACB是平行四邊形．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．解決此類問題一般是轉化為研究方程組的解的問題，利用直線方程與圓錐曲線方程所組成的方程組消去一個變量后，將交點問題（包括公共點個數、與交點坐標有關的問題）轉化為一元二次方程根的問題，結合根與系數的關系及判別式解決問題．