Question

已知極點與原點重合，極軸與x軸的正半軸重合．若曲線C₁的極坐標方程為：5ρ²-3ρ²cos2θ-8=0，直線?的參數方程為：

x=1- 3 2 t y= 1 2 t

（t為參數）．
（Ⅰ）求曲線C₁的直角坐標方程；
（Ⅱ）直線?上有一定點P（1，0），曲線C₁與?交于M，N兩點，求|PM|•|PN|的值．

Answer 1

分析：（I）利用倍角公式和極坐標與直角坐標的互化公式即可得出；
（II）把直線的參數方程直線?的參數方程

x=1- 3 2 t y= 1 2 t

（t為參數）代入到曲線C₁的直角坐標方程即可得到關于t的一元二次方程，利用參數t的幾何意義即可得出．

解答：解：（Ⅰ）由5ρ²-3ρ²cos2θ-8=0得5ρ²-3ρ²（cos²θ-sin²θ）-8=0
即5ρ²-3ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ-8=0，從而5（x²+y²）-3x²+3y²-8=0
整理得

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）把直線的參數方程直線?的參數方程

x=1- 3 2 t y= 1 2 t

（t為參數）
代入到曲線C₁的直角坐標方程，得7t2-4

3

t-12=0t1t2=-

12

7

．
由t的幾何意義知|PM|•|PN|=|t₁•t₂|=

12

7

．

點評：熟練掌握極坐標與直角坐標的互化公式、參數t的幾何意義、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立得到根與系數的關系、倍角公式等是解題的關鍵．