Question

若實數列{a_n}滿足a_k-1+a_k+1≥2a_k（k=2，3，…），則稱數列{a_n}為凸數列．
（Ⅰ）判斷數列是否是凸數列？
（Ⅱ）若數列{a_n}為凸數列，k、n、m∈N₊，且k＜n＜m，
（i）求證：；
（ii）設S_n是數列{a_n}的前n項和，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）將代入a_k+1+a_k-1-2a_k判定符號，從而確定數列{a_n}是否是凸數列；
（Ⅱ） （i）由a_k-1+a_k+1≥2a_k（k=2，3，…）得a_k+1-a_k≥a_k-a_k-1，從而a_m-a_n≥（m-n）（a_n+1-a_n）則，同理可得a_n-a_k≤（n-k）（a_n+1-a_n）即，從而證得結論；
（ii）由得（m-n）a_k+（n-k）a_m≥（m-k）a_n①，先證是凸數列，由①得可得結論．
解答：解：（Ⅰ）∵，
∴數列是凸數列．
證明（Ⅱ） （i）由a_k-1+a_k+1≥2a_k（k=2，3，…）得
a_k+1-a_k≥a_k-a_k-1a_m-a_n=（a_m-a_m-1）+（a_m-1-a_m-2）+…+（a_n+1-a_n）≥（m-n）（a_n+1-a_n）
⇒，a_n-a_k=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a_k+1-a_k）≤（n-k）（a_n-a_n-1）≤（n-k）（a_n+1-a_n）
⇒，故．
（ii）由得（m-n）a_k+（n-k）a_m≥（m-k）a_n．①
故先證是凸數列．
在（m-n）a_k+（n-k）a_m≥（m-k）a_n中令m=n+1得a_k+（n-k）a_n+1≥（n+1-k）a_n，令k=1，2，…，n-1，（n≥2）疊加得，⇒2S_n-1+n（n-1）（S_n+1-S_n）≥（n+2）（n-1）（S_n-S_n-1）
故是凸數列，由①得．
點評：本題主要考查了數列與不等式的綜合，以及新定義和數列的函數特性，同時考查了計算能力，屬于難題．