Question

【題目】某“芝麻開門”娛樂活動(dòng)中，共有扇門，游戲者根據(jù)規(guī)則開門，并根據(jù)打開門的數(shù)量獲取相應(yīng)獎(jiǎng)勵(lì)．已知開每扇門相互獨(dú)立，且規(guī)則相同，開每扇門的規(guī)則是：從給定的把鑰匙（其中有且只有把鑰匙能打開門）中，隨機(jī)地逐把抽取鑰匙進(jìn)行試開，鑰匙使用后不放回．若門被打開，則轉(zhuǎn)為開下一扇門；若連續(xù)次未能打開，則放棄這扇門，轉(zhuǎn)為開下一扇門；直至扇門都進(jìn)行了試開，活動(dòng)結(jié)束．

（1）設(shè)隨機(jī)變量為試開第一扇門所用的鑰匙數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（2）求恰好成功打開扇門的概率．

Answer 1

【答案】（1）見解析，；（2）．

【解析】

（1）由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值為、、、，計(jì)算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率，可得出隨機(jī)變量的概率分布列，利用數(shù)學(xué)期望公式可求得；

（2）計(jì)算出每扇門被打開的概率，然后利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式可求得所求事件的概率.

（1）由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值為、、、，

則，，

，，

所以隨機(jī)變量的分布列為：

所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望；

（2）由（1）可知，每扇門被打開的概率為，

設(shè)恰好成功打開四扇門為事件，則．