Question

已知函數f（x）=2^x-．
（1）將y=f（x）的圖象向右平移兩個單位，得到函數y=g（x），求y=g（x）的解析式；
（2）函數y=h（x）與函數y=g（x）的圖象關于直線y=1對稱，求y=h（x）的解析式；
（3）設F（x）=f（x）+h（x）F（x）的最小值是m，且m＞2+，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據坐標平移的規律左加右減得到g（x）的解析式；
（2）設出h（x）上任一點的坐標求出關于y=1對稱點的坐標代入g（x）求出h（x）的解析式即可；
（3）根據已知先求出F（x）的解析式，分四種情況討論a的取值，因為F（x）的最小值是m，所以只有當＜a＜4時，根據不等式的基本性質求出F（x）的最小值等于m，又根據m＞2+，列出不等式組求出解集即可．
解答：解：（1）g（x）=f（x-2）=2^x-2-
（2）設y=h（x）上的任意點P（x，y），則P關于y=1對稱點為Q（x，2-y），點Q在y=g（x）上，所以h（x）=2-2^x-2+
（3）F（x）=（-）2^x+（4a-1）+2
①當a＜0時，-＜0，4a-1＜0∴F（x）＜2，與題設矛盾
②當0＜a≤時，-＞0，4a-1≤0，F（x）在R上是增函數，F（x）無最小值；
③當a≥4時，-≤0，4a-1＞0，F（x）在R上是減函數，F（x）無最小值
④當＜a＜4時，-＞0，4a-1＞0，F（x）≥2+2=m
由m＞2+，得∴＜a＜2
點評：考查學生掌握函數平移、對稱的基本性質，會利用基本不等式求最值，掌握分類討論的數學思想．