Question

給出下列四個結論：
①函數y=a^x（a＞0且a≠1）與函數y=log_aa^x（a＞0且a≠1）的定義域相同；
②函數y=

1

2

+

1

2x-1

(x≠0)是奇函數；
③函數y=sin（-2x）在區間[

π

4

，

3π

4

]上是減函數；
④函數y=cos|x|是周期函數；
⑤對于命題p：?x∈R，使得x²+x+1＜0，則?p：?x∈R，均有x²+x+1≥0．（其中“?”表示“存在”，“?”表示“任意”）．
其中錯誤結論的序號是

③

．（填寫你認為錯誤的所有結論序號）

Answer 1

分析：對各個選項依次加以判斷：對于①，函數y=a^x（a＞0且a≠1）的定義域與函數y=log_aa^x（a＞0且a≠1）的定義域都是R，命題正確；對于②，令函數f(x)=

1

2

+

1

2x-1

(x≠0)，可以證明得f(-x)=

2 -x+1

2 -x-1

=

2x+1

1-2x

=-f（x），故原函數是奇函數；對于③，函數y=sin（-2x）=-sin（2x）在區間[

π

4

，

3π

4

]上是增函數，命題錯誤；對于④，由于余弦函數是偶函數，故函數y=cos|x|=cosx，函數是周期函數最小正同期為2π，命題正確；對于⑤，這是一個含有量詞的命題，否定時要先改下量詞，再否定結論，由此可得命題⑤正確．說明只有③是錯誤的．

解答：解：對于①，函數y=a^x（a＞0且a≠1）的定義域為R，
函數y=log_aa^x（a＞0且a≠1）的定義域也是R，
故兩個函數定義域相同，命題正確；
對于②，令函數f(x)=

1

2

+

1

2x-1

(x≠0)，
則f(x)=

1

2

+

1

2x-1

=

2 x+1

2 x-1

，
而f(-x)=

2 -x+1

2 -x-1

=

2x+1

1-2x

=-f（x），故原函數是奇函數；
對于③，函數y=sin（-2x）=-sin（2x）在
區間[

π

4

，

3π

4

]上是增函數，命題錯誤；
對于④，由于余弦函數是偶函數，故函數y=cos|x|=cosx，
函數是周期函數最小正同期為2π，命題正確；
對于⑤，對于命題p：?x∈R，使得x²+x+1＜0，
這是一個含有量詞的命題，否定時要先改下量詞，再否定結論
則?p：?x∈R，均有x²+x+1≥0，命題⑤正確．
故答案為：③

點評：本題考查了命題真假的判斷，其中包含了函數的奇偶性與單調性，含有量詞的命題等等，知識點較多，屬于中檔題．