Question

3．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上一點A關于原點的對稱點為點B，F為其右焦點，若AF⊥BF，設∠ABF=α，且α∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]，則該橢圓離心率e的取值范圍為$[\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\sqrt{3}-1]$．

Answer 1

分析 橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）焦點在x軸上，四邊形AFF₁B為長方形．根據橢圓的定義：|AF|+|AF₁|=2a，∠ABF=α，則∠AF₁F=α．橢圓的離心率e=$\frac{2c}{2a}$=$\frac{1}{sinα+cosα}$=$\frac{1}{\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）}$，α∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]，$\frac{\sqrt{2}（\sqrt{3}+1）}{4}$≤sin（α+$\frac{π}{4}$）≤1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤$\frac{1}{\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）}$≤$\sqrt{3}$-1，即可求得橢圓離心率e的取值范圍．

解答 解：橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）焦點在x軸上，
橢圓上點A關于原點的對稱點為點B，F為其右焦點，設左焦點為F₁，連接AF，AF₁，BF，BF₁，
∴四邊形AFF₁B為長方形．
根據橢圓的定義：|AF|+|AF₁|=2a，
∠ABF=α，則：∠AF₁F=α．
∴2a=2ccosα+2csinα
橢圓的離心率e=$\frac{2c}{2a}$=$\frac{1}{sinα+cosα}$=$\frac{1}{\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）}$，α∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]，
∴$\frac{5π}{12}$≤α+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$，
則：$\frac{\sqrt{2}（\sqrt{3}+1）}{4}$≤sin（α+$\frac{π}{4}$）≤1，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤$\frac{1}{\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）}$≤$\sqrt{3}$-1，
∴橢圓離心率e的取值范圍：$[\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\sqrt{3}-1]$，
故答案為：$[\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\sqrt{3}-1]$．

點評 本題考查橢圓的定義，三角函數關系式的恒等變換，利用定義域求三角函數的值域，離心率公式的應用，屬于中檔題型．