Question

設數列{a_n}為單調遞增的等差數列，a₁=1，且a₃，a₆，a₁₂依次成等比數列．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式a_n；
（Ⅱ）若，求數列{b_n}的前n項和S_n；
（Ⅲ）若，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由數列{a_n}為單調遞增的等差數列，a₁=1，且a₃，a₆，a₁₂依次成等比數列，推導出1+5d=2（1+2d），由此能求出a_n=n．
（Ⅱ）由a_n=n，∴=n•2ⁿ，知S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，由此利用錯位相減法能求出數列{b_n}的前n項和S_n．
（Ⅲ）由a_n=n，知=，由此利用裂項求和法能求出數列{c_n}的前n項和T_n．
解答：解：（Ⅰ）∵數列{a_n}為單調遞增的等差數列，a₁=1，且a₃，a₆，a₁₂依次成等比數列，
∴===2，
∴1+5d=2（1+2d），
解得d=1，
∴a_n=n．…．（4分）
（Ⅱ）∵a_n=n，∴=n•2ⁿ
∴數列{b_n}的前n項和S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，①
∴2S_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹，②
①-②，得-S_n=2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹
=-n×2ⁿ⁺¹
=-（2-2ⁿ⁺¹+n×2ⁿ⁺¹），
∴S_n=2-2ⁿ⁺¹+n×2ⁿ⁺¹=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．…．（13分）
（Ⅲ）∵a_n=n，
∴
=
=
=
=，
∴數列{c_n}的前n項和
T_n=（）+（）+…+（）=．…（13分）
點評：本題考查數列的通項公式和前n項和公式的求法，解題時要認真審題，注意裂項求和法和錯位相減法的合理運用．