Question

（2013•福建）已知等比數列{a_n}的公比為q，記b_n=a_m（n-1）+1+a_m（n-1）+2+…+a_m（n-1）+m，c_n=a_m（n-1）+1•a_m（n-1）+2•…•a_m（n-1）+m，（m，n∈N^*），則以下結論一定正確的是（　　）

A．數列{b_n}為等差數列，公差為q^m

B．數列{b_n}為等比數列，公比為q^2m

C．數列{c_n}為等比數列，公比為qm2

D．數列{c_n}為等比數列，公比為qmm

Answer 1

分析：①bn=am(n-1)(q+q2+…+qm)，當q=1時，b_n=ma_m（n-1），b_n+1=ma_m（n-1）+m=ma_m（n-1）=b_n，此時是常數列，可判斷A，B兩個選項
②由于等比數列{a_n}的公比為q，利用等比數列的通項公式可得am(n+1-1)=am(n-1)+m=am(n-1)•qm，cn=

a

m m(n-1)

q1+2+…+m=

a

m m(n-1)

•q

m(m+1)

2

，得出

cn+1

cn

即可判斷出C，D兩個選項．

解答：解：①bn=am(n-1)(q+q2+…+qm)，當q=1時，b_n=ma_m（n-1），b_n+1=ma_m（n-1）+m=ma_m（n-1）=b_n，此時是常數列，選項A不正確，選項B正確；
當q≠1時，bn=am(n-1)×

q(qm-1)

q-1

，bn+1=am(n-1)+m•

q(qm-1)

q-1

=am(n-1)qm•

q(qm-1)

q-1

，此時

bn+1

bn

=qm，選項B不正確，
又b_n+1-b_n=am(n-1)×

q(qm-1)

q-1

(qm-1)，不是常數，故選項A不正確，
②∵等比數列{a_n}的公比為q，∴am(n+1-1)=am(n-1)+m=am(n-1)•qm，
∴cn=

a

m m(n-1)

q1+2+…+m=

a

m m(n-1)

•q

m(m+1)

2

，
∴

cn+1

cn

=

a m m(n+1-1) q m(m+1) 2

a m m(n-1) •q m(m+1) 2

=

(am(n-1)qm)m

a m m(n-1)

=qm2，故C正確D不正確．
綜上可知：只有C正確．
故選C．

點評：熟練掌握等差數列與等比數列的定義、通項公式及其前n項和公式是解題的關鍵．