Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

6

3

，焦點是函數f（x）=x²-2與x軸的交點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線y=kx+2（k≠0與橢圓交于C、D兩點，|CD|=

6 2

5

，求k的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）掌握a、b、c間的關系及焦點與c的關系；
（Ⅱ）聯立直線與橢圓方程即可得出根與系數的關系，代入弦長公式即可求出．

解答：解：（Ⅰ）由題意 x²-2=0，解得  x=±

2

，
所以c=

2

，又

c

a

=

6

3

，所以a²=3，b²=1
∴橢圓方程為

x2

3

+y2=1．
（Ⅱ）設C（x₁，y₁）﹑D（x₂，y₂），將y=kx+2代入

x2

3

+y2=1
整理得（1+3k²）x²+12kx+9=0
所以有△=（12k）²-36（1+3k²）＞0  ①

x1+x2=- 12k 1+3k2 x1•x2= 9 1+3k2

，
所以 丨CD丨=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[ 122k2 (1+3k2)2 - 36 1+3k2 ]

=

6 2

5

整理得
7k⁴-12k²-27=0即（7k²+9）（k²-3）=0
解得  k2=-

9

7

（舍去）或k²=3，即k=±

3

經驗證，k=±

3

使①成立，故為所求．

點評：（Ⅰ）掌握a、b、c間的關系及焦點與c的關系；
（Ⅱ）聯立直線與橢圓方程即可得出根與系數的關系，代入弦長公式即可求出．