Question

對函數f（x）=

sinx    sinx≥cosx cosx    sinx＜cosx

有下列命題：
①f（x）的值域為[-1，1]；
②當且僅當x=2kл+

π

2

，k∈Z時，該函數取最大值1；
③f（x）是以л為最小正周期的函數； 
④當且僅當2kл+л＜x＜2kл+

3π

2

，k∈Z時，f（x）＜0．
其中正確的是（　�。�

A．①②

B．②③

C．③

D．④

Answer 1

分析：由題意可得：函數 f(x)=

sinx，[2kπ+ π 4 ，2kπ+ 5π 4 ] cosx，[2kπ- 3π 4 ，2kπ+ π 4 ]

，再根據周期函數的定義結合其圖象可得函數的周期等性質即可．

解答：解：由題意可得：函數 f(x)=

sinx當sinx≥cosx時 cosx當sinx＜cosx時

，即 f(x)=

sinx，[2kπ+ π 4 ，2kπ+ 5π 4 ] cosx，[2kπ- 3π 4 ，2kπ+ π 4 ]

，作出其圖象如圖，從圖象上可以看出：
①sinx≥cosx，∴

π

4

+2kπ≤x≤

5π

4

+2kπ
∵sinx＜cosx，∴-

3π

4

+2kπ＜x＜

π

4

+2kπ
∴f（x）=

sinx   [ π 4 +2kπ 5π 4 +2kπ] cosx  (- 3π 4 +2kπ π 4 +2kπ)

，∴f（x）的值域為[-

2

2

，1]
②當x=

π

2

+2kπ或x=2kπ（k∈Z）時，f（x）取得最大值為1．
∵f（x+π）=

-sinx -cosx

≠f（x）
③∴f（x）不是以π為最小正周期的周期函數，
④當f（x）＜0時，2kπ+π＜x＜2kπ+

3π

2

（k∈Z）
綜上所述，正確的④，
故選D．

點評：本提主要考查了正弦函數及余弦函數圖象的應用，利用定義先找出函數的圖象，結合圖象及三角函數的圖象來判斷函數的性質，體現了數形結合的思想．