Question

已知：函數f_n（x）（n∈N^*）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），其中，并且當n＞1且n∈N^*時，滿足．
（1）求函數f_n（x）（n∈N^*）的解析式；
（2）當n=1，2，3時，分別研究函數f_n（x）的單調性與值域；
（3）借助（2）的研究過程或研究結論，提出一個類似（2）的研究問題，并寫出問題的研究過程與研究結論．
【第（3）小題將根據你所提出問題的質量，以及解決所提出問題的情況進行分層評分】

Answer 1

【答案】分析：（1）利用累加法直接求函數f_n（x）（n∈N^*）的解析式；
（2）當n=1當n=1，2，3時，分別利用雙勾函數，平方，求出函數f₁（x），f₂（x），f₃（x）的單調性與值域；
（3）借助（2）的研究過程或研究結論，求出第一類，結論一：f₄（x）單調性與值域；結論二：f₅（x）的單調性與值域；第二類問題，結論三、當x＞0時，函數f_n（x）的單調性與值域；結論四、當x＜0且n為奇數時，結論五、當x＜0且n為偶數時，函數f_n（x）的單調性與值域；通過數列求和，利用函數的單調性的定義證明即可…
解答：解：（1）由于；                           （2分）
所以；                  （4分）
（2）（每小題結論正確（1分），證明（1分），共6分）
當n=1時，，易證函數的單調遞增區間為（-∞，-1），（1，+∞）；
單調遞減區間為（-1，0），（0，1）；值域為（-∞，-1]∪[3，+∞）
當n=2時，，易證函數的單調遞增區間為（-1，0），（1，+∞；單位遞減區間為（-∞，-1），（0，1）；因此函數在（-∞，0）值域為[f₂（-1），+∞），在（0，+∞）上值域為[5，+∞）
因此函數值域為[1，+∞）
當n=3時，+=f₂（x）+
易證f₂（x）、，在（0，1）單調遞減，在（1，+∞）單調遞增，
所以+在（0，1）單調遞減，在（1，+∞）單調遞增．
由于=，用定義易證在（-∞，-1）單調遞增，在（-1，0）上單調遞減．的值域為（-∞，-1]∪[7，+∞）
（3）以下給出若干解答供參考，評分方法參考本小題閱卷說明：
第一類問題
結論一、單調遞增區間為（-1，0），（1，+∞）單調遞減區間為（-∞，-1），（0，1）；值域為[1，+∞）；
結論二、單調遞增區間為（-∞，-1），（1，+∞）
；單調遞減區間為（0，1），（-1，0），值域為（-∞，-1]∪[11，+∞）
 解法及評分說明：解法與類同，結論分2分，證明正確得2分，共4分；
第二類問題
結論三、當x＞0時，
在（0，1）單調遞減，在（1，+∞）單調遞增，值域為[2n+1，+∞）
 結論四、當x＜0且n為奇數時，在（-1，0）單調遞減，在（-∞，-1）單調遞增；值域為（-∞，-1]；
結論五、當x＜0且n為偶數時，在（-∞，-1）單調遞減，在（-1，0）單調遞增；值域為[1，+∞）；
解法及評分說明：結論三的單調性證明可以用數學歸納法完成；即；x＞0時．
①當n=1時，，用定義易證函數在（0，1）單調遞減；在（1，+∞）上單調遞增；計算得值域為（-∞，-1]∪[3，+∞）
 ②設函數（n∈N^*）在（0，1）單調遞減；在（1，+∞）
上單調遞增；計算得值域為[2n+1，+∞）
 則f_n+1（x）=f_n（x）+，對于任意0＜x₁＜x₂，f_n+1（x₂）-f_n+1（x₁） 
= 
=，易證函數f_n+1（x）=f_n（x）+在（0，1）
單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增；值域為[2（n+1）+1，+∞）．
所以由①、②可得結論成立．
結論四及結論五的證明，可以先求和，后用定義進行證明，即：，
f_n（x₂）-f_n（x₁）=，容易獲得結論的證明．
解法及評分說明：結論分3分，證明正確得3分，共6分；
第三類問題
結論六：當n為奇數時，在（-1，0），（0，1）
單調遞減，在（-∞，-1），（1，+∞）單調遞增；值域為（-∞，-1]∪[2n+1，+∞）；
結論七：當n為偶數時單調遞增區間為（-1，0），（1，+∞），單調遞減區間為（-∞，-1），（0，1）
；值域為[1，+∞）；
結論八：當n為奇數時，在（-1，0），（0，1）單調遞減，在（-∞，-1），（1，+∞）單調遞增；值域為（-∞，-1]∪[2n+1，+∞）；
當n為偶數時單調遞增區間為（-1，0），（1，+∞），單調遞減區間為（-∞，-1），（0，1）；值域為[1，+∞）；
解法及評分說明：解法與第二類問題類同．結論分4分，求解正確得4分，共8分．
點評：本題是開放性問題，通過研究基本函數的單調性，類比到其它的情況，考查分類討論的思想，函數的單調性的基本證明方法，轉化思想的應用，數列求和的應用，難度大，綜合性強，多作為壓軸題目，競賽試題出現．