Question

如圖，已知C點在圓O直徑BE的延長線上，CA切圓O于A點，∠ACB的平分線分別交AE、AB于點F、D．?
（Ⅰ）求∠ADF的度數(shù)；?
（Ⅱ）若AB=AC，求

AC

BC

的值．????????

Answer 1

分析：（1）由AC為圓O的切線，可得∠B=∠EAC，結(jié)合CD是∠ACB的平分線可知∠ACD=∠DCB，可證∠ADF=∠AFD，由已知可得∠BAE=90°，而由∠ADF=

1

2

（180°-∠BAE）可求
（2）容易證明△ACE∽△BCA，且有∠B=∠ACB，從而可得∠B=∠ACB=∠EAC，由∠BAE=90°及三角形內(nèi)角和知，∠B=30°，在Rt△ABE中，可求

解答：解 （1）∵AC為圓O的切線，
∴∠B=∠EAC，
又CD是∠ACB的平分線，∴∠ACD=∠DCB，
∴∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD，
即∠ADF=∠AFD．
又∵BE為圓O的直徑，∴∠BAE=90°，
∴∠ADF=

1

2

（180°-∠BAE）=45°
（2）∵∠B=∠EAC，∠ACE=∠BCA，
∴△ACE∽△BCA
又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，
∴∠B=∠ACB=∠EAC，
由∠BAE=90°及三角形內(nèi)角和知，∠B=30°，
∴在Rt△ABE中，

AC

BC

=

AE

BA

=tan∠B=tan30°=

3

3

點評：本題主要考查了圓的切線的性質(zhì)的應(yīng)用圓周角定理、弦切角定理等知識的綜合的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用圓中的相關(guān)定理，結(jié)論．