Question

【題目】在正四棱柱中，E為AD的中點(diǎn).

（1）在線段上是否存在點(diǎn)F，使得平面平面？并說明理由；

（2）設(shè)，，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）存在，詳見解析（2）

【解析】

（1）找到的中點(diǎn)F，分別證出平面與平面，即可證明平面平面﹔

（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫出B，E，C，點(diǎn)的坐標(biāo)，再分別求出平面與平面的法向量，利用空間向量的夾角公式求出二面角的余弦值.

解：（1）存在，當(dāng)F為的中點(diǎn)時(shí)，平面平面.

因?yàn)?/span>為正四棱柱，

所以，.

又因?yàn)?/span>平面，平面，

所以平面，

又因?yàn)?/span>E為AD的中點(diǎn)，F為的中點(diǎn)，

所以且.

連接AF，故四邊形為平行四邊形，

所以.

又因?yàn)?/span>平面，平面，

所以平面，

又因?yàn)?/span>，平面，

平面，所以平面平面.

（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.

又因?yàn)?/span>，，

所以，，，，

所以，，.

設(shè)平面的法向量為，則，即.

令，解得，

所以，

同理可求得平面的一個(gè)法向量為.

所以.

所以二面角的余弦值為﹒