Question

12．設函數f（x）=ln（1+ax）+bx，g（x）=f（x）-bx²．
（Ⅰ）若a=1，b=-1，求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若曲線y=g（x）在點（1，ln3）處的切線與直線11x-3y=0平行．
（i）  求a，b的值；
（ii）求實數k（k≤3）的取值范圍，使得g（x）＞k（x²-x）對x∈（0，+∞）恒成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，通過解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；
（Ⅱ）（i）求出g（x）的導數，得到關于a，b的方程組，解出即可；
（ii）問題轉化為g（x）-k（x²-x）＞0對x∈（0，+∞）恒成立．令F（x）=g（x）-k（x²-x），求出函數的導數，通過討論k的范圍，求出函數的單調區間，從而確定k的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）當a=1，b=-1時，f（x）=ln（1+x）-x，（x＞-1），
則$f'（x）=\frac{1}{1+x}-1=\frac{-x}{1+x}$．
當f'（x）＞0時，-1＜x＜0；
當f'（x）＜0時，x＞0；
所以f（x）的單調增區間為（-1，0），單調減區間為（0，+∞）．…（4分）
（Ⅱ）（ i）因為g（x）=f（x）-bx²=ln（1+ax）+b（x-x²），
所以$g'（x）=\frac{a}{1+ax}+b（1-2x）$．
依題設有$\left\{\begin{array}{l}g（1）=ln（1+a）\\ g'（1）=\frac{11}{3}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}ln（1+a）=ln3\\ \frac{a}{1+a}-b=\frac{11}{3}.\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=-3\end{array}\right.$．…（8分）
（ ii））所以$g（x）=ln（1+2x）-3（x-{x^2}），x∈（-\frac{1}{2}，+∞）$．
g（x）＞k（x²-x）對x∈（0，+∞）恒成立，
即g（x）-k（x²-x）＞0對x∈（0，+∞）恒成立．
令F（x）=g（x）-k（x²-x）．
則有$F'（x）=\frac{{4（3-k）{x^2}+k-1}}{1+2x}$．
①當1≤k≤3時，當x∈（0，+∞）時，F'（x）＞0，
所以F（x）在（0，+∞）上單調遞增．
所以F（x）＞F（0）=0，即當x∈（0，+∞）時，g（x）＞k（x²-x）；
②當k＜1時，當$x∈（0，\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1-k}{3-k}}）$時，F'（x）＜0，
所以F（x）在$（0，\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1-k}{3-k}}）$上單調遞減，
故當$x∈（0，\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1-k}{3-k}}）$時，F（x）＜F（0）=0，
即當x∈（0，+∞）時，g（x）＞k（x²-x）不恒成立．
綜上，k∈[1，3]．                                       …（13分）

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．