Question

已知函數(shù)f（x）=a|x-l|+|x-3|．
（1）若a=2，解不等式f（x）≤13；
（2）若函數(shù)f（x）既存在最大值，也存在最小值，求a的值．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=2時(shí)，通過(guò)對(duì)x的取值情況分類討論，解不等式f（x）=2|x-l|+|x-3|≤13即可．
（2）通過(guò)對(duì)x的取值情況分類討論，將f（x）=2|x-l|+|x-3|轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)式，結(jié)合題意即可求得a的值．

解答：解：（1）∵f（x）=2|x-l|+|x-3|≤13，
∴當(dāng)x≤1時(shí)，f（x）=2-2x+3-x≤13，
∴-

8

3

≤x≤1；
當(dāng)1＜x＜3時(shí)，f（x）=2x-2+3-x≤13，
解得1＜x＜3；
當(dāng)x≥3時(shí)，f（x）=2x-2+x-3≤13，
解得3≤x≤6．
綜上所述，不等式f（x）≤13的解集為：{x|-

8

3

≤x≤6}．
（2）∵f（x）=a|x-l|+|x-3|=

(-1-a)x+a+3，x≤1 (a-1)x+3-a，1＜x＜3 (a+1)x-3-a，x≥3

既存在最大值，也存在最小值，
∴當(dāng)x≤1時(shí)，f（x）=（-1-a）x+a+3中x的系數(shù)必為0，當(dāng)x≥3時(shí)，f（x）=（1+a）x-a-3中x的系數(shù)必為0．
即

-1-a=0 a+1=0

，
解得a=-1．此時(shí)，f（x）_max=a+3=（-1）+3=2，f（x）_min=-3-（-1）=-2．
∴a=-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查帶絕對(duì)值的函數(shù)，考查絕對(duì)值不等式的解法，突出分類討論思想與化歸思想的綜合運(yùn)用，屬于難題．