Question

已知函數為常數，e是自然對數的底數.
（Ⅰ）當時，證明恒成立；
（Ⅱ）若，且對于任意，恒成立，試確定實數的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）確定函數有最小值，所以恒成立.
（Ⅱ）實數的取值范圍是．

試題分析：（Ⅰ）由得，所以．
由得，故的單調遞增區間是，
由得，故的單調遞減區間是．
所以函數有最小值，所以恒成立.
（Ⅱ）由可知是偶函數．
于是對任意成立等價于對任意成立．
由得．
①當時，．
此時在上單調遞增．
故，符合題意．
②當時，．
當變化時的變化情況如下表：

	單調遞減	極小值	單調遞增

由此可得，在上，．
依題意，，又．
綜合①，②得，實數的取值范圍是．
點評：典型題，本題屬于導數應用中的基本問題，通過研究函數的單調性，明確了極值情況。涉及不等式恒成立問題，轉化成了研究函數的單調性及最值，得到求證不等式。