Question

已知f(x)=,數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n,點(diǎn)P_n(a_n,)(n∈N^*)在曲線y=f(x)上,且a₁=1,a_n＞0.

（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；

（2）數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)b₁=1，前n項(xiàng)和為T(mén)_n，且+16n²-8n-3，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式b_n.

Answer 1

解：（1）由題意知=.∴=4+.∴=4，即{}是等差數(shù)列.

∴+4(n-1)=1+4n-4=4n-3.∴a_n²=.又∵a_n＞0,∴a_n=.

（2）由題設(shè)知(4n-3)T_n+1=(4n+1)T_n+(4n+1)(4n-3).

∴=1.設(shè)=c_n,則上式變?yōu)閏_n+1-c_n=1.

∴{c_n}是等差數(shù)列.

∴c_n=c₁+n-1=+n-1=b₁+n-1=n.∴=n.即T_n=n(4n-3)=4n²-3n.

∴當(dāng)n=1時(shí)，b_n=T₁=1;當(dāng)n≥2時(shí),b_n=T_n-T_n-1=4n²-3n-4(n-1)²+3(n-1)=8n-7.

經(jīng)驗(yàn)證n=1時(shí)也適合上式.∴b_n=8n-7(n∈N^*).